Knowledge arrangement of calculus in Higher Mathematics.

函数与极限

映射与函数

微积分共分为三块内容：极限、微分学、积分学。

函数性质

微积分研究对象是函数，函数的四个性质是：有界性、单调性、奇偶性、周期性。

函数的有界性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $X\subset D$，如果存在数 $M$，使得：

$|f(x)|\leq M$

对于任意 $x\in X$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上具有有界性。
或存在数 $M_1$，$M_2$，使得：

$M_1\leq f(x)\leq M_2$

对于任意 $x\in X$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上具有有界性。

函数的单调性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subset D$，如果对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1$ 及 $x_2$，当 $x_1\le x_2$ 时，恒有：

$f(x_1)\le f(x_2) 或 f(x_1)\ge f(x_2)$

则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上具有单调性。

函数的奇偶性

设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，如果任意 $x\in D$，有：

$f(-x)=f(x)$

恒成立，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果任意 $x\in D$，有：

$f(-x)=-f(x)$

恒成立，则称 $f(x)$ 为奇函数。

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$\Large\texttt{Ex1}$
设 $f(x)$ 定义域为 $(-a,a)$。
求证：$f(x)$ 在 $(-a,a)$ 上一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。
证明：
令 $g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$，$h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$。
则 $g(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-g(x)$，$h(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=h(x)$。
即：$g(x)$ 为奇函数且 $h(x)$ 为偶函数，且满足 $f(x)=g(x)+h(x)$。
证毕。

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函数的周期性

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个正数 $l$，使得对于任意 $x\in D$ 有 $(x\pm l)\in D$，且：

$f(x\pm l)=f(x)$

恒成立，则称函数 $f(x)$ 为周期函数，$l$ 称为 $f(x)$ 的周期。
并非每个周期函数都有最小正周期。
反例：Dirichlet 函数。

反函数和复合函数

反函数

$y=f(x)$，$x\in D$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$。
例如：$y=x^2+1$ 的反函数为 $y=\sqrt{x-1}$。

复合函数

设 $y=f(u)$，$u\in D_f$，$u=g(x)$，$x\in D$，且 $R_g\subset D_f$。
则 $y=f[g(x)]$，$x\in D$。
$Rg\subset D_f$ 的条件不可少。

初等函数

基本初等函数

基本初等函数共有六种：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
例如：$y\equiv C$，$y=x^n$，$y=e^x$，$y=\ln x$，$y=\sin x$，$y=\arcsin x$。

初等函数

由基本初等函数通过有限次四则运算及复合运算得到初等函数。
初等函数 可用一个式子表示。

极限

数列的极限

数列极限的定义

自变量取正整数的函数叫做数列。
记作 $x_n=f(n)$ 或 $\{x_n\}$，$x_n$ 为通项。
定义：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\forall\epsilon\ge 0$，$\exist N\in \mathbb{Z^{+}}$。
当 $n\ge N$ 时，有 $|x_n-a|\le\epsilon$。
则称该数列的极限为 $a$。
记作 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ 或 $x_n\to a(n\to\infty)$。
例如：$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})=1$。
当 $n$ 充分大，$1+\frac{1}{n}$ 充分接近 $1$，$|1+\frac{1}{n}-1|=\frac{1}{n}$ 充分小。
如果 $\epsilon=0.001$，只要 $n\ge 1000$，就有 $|a-\frac{1}{n}-1|\le\epsilon$。
其中：

• 任意性：$\epsilon$ 任意，不取具体值。
• 存在性：$N=N(\epsilon)$。
• 几何解释：$a-\epsilon\le x_\le a+\epsilon$，$n\ge N$。

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$\Large\texttt{Ex1}$
求证：$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})=1$。
证明：
对 $\forall\epsilon\ge 0$，要使得 $|1+\frac{1}{n}-1|=\frac{1}{n}\le\epsilon$，只需 $n\ge\frac{1}{\epsilon}$。
取 $N=\frac{1}{\epsilon}$，则当 $n\ge N$ 时，$|1+\frac{1}{n}-1|\le\epsilon$。
$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})=1$。
证毕。
$\Large\texttt{Ex2}$
求证：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0$。
证明：
对 $\forall\epsilon\ge 0$，要使得 $|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|=\frac{1}{(n+1)^2}\le\epsilon$，只需 $n\ge\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}-1$。
取 $N=\frac{1}{\sqrt{\epsilon}}-1$，则当 $n\ge N$ 时， $|\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}-0|\le\epsilon$。
$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^2}=0$。
证毕。

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收敛数列的性质

• 唯一性：收敛数列极限唯一。
• 有界性：收敛数列一定有界。
• 保号性：收敛数列有保号性。
• 归并原则：收敛数列的任意子序列收敛于同一极限。
• 不等式性：保号性的逆命题。

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$\Large\texttt{Ex1}$
证明收敛数列的唯一性。
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=b$。
求证：$a=b$。
证明：
（反证法）若不然，则对 $\forall\epsilon\ge 0$：
由 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\exist N_1\in\mathbb{Z^{+}}$，当 $n\ge N_1$ 时，$|x_n-a|\le\epsilon$。
由 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=b$，$\exist N_2\in\mathbb{Z^{+}}$，当 $n\ge N_2$ 时，$|x_n-b|\le\epsilon$。
取 $N=\max\{N_1,N_2\}$，当 $n\ge N$ 时，有：
$|a-b|=|(x_n-b)-(x_n-a)|\leq |x_n-a|+|x_n-b|\le 2\epsilon$。
即：$|a-b|\le\epsilon$。
由 $\epsilon$ 的任意性，$a=b$。
证毕。
$\Large\texttt{Ex2}$
证明收敛数列的有界性。
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。
求证：$\exist M\ge 0$，使得 $|x_n|\leq M$，$\forall n\in\mathbb{Z^{+}}$。
证明：
取 $\epsilon_0=\frac{1}{2}$，由 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，则 $\exist N\in\mathbb{Z^{+}}$。
当 $n\ge N$ 时，$|x_n-a|\le\frac{1}{2}$。
即：$|x_n|=|x_n-a+a|\leq |x_n-a|+|a|\le\frac{1}{2}+|a|$。
取 $M=\max\{|x_1|,|x_2|,\cdots,|x_N|,\frac{1}{2}+|a|\}$，则 $x_n\leq M$，$\forall n\in\mathbb{Z^{+}}$。
证毕。
$\Large\texttt{Ex3}$
证明收敛数列的保号性。
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a\ge 0$。
求证：$\exist N\in\mathbb{N^{+}}$，使得当 $n\ge N$ 时，$x_n\ge 0$。
证明：
取 $\epsilon=\frac{a}{2}\ge 0$。
由 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，则 $\exist N\in\mathbb{Z^{+}}$。
当 $n\ge N$ 时，$|x_n-a|\le\frac{a}{2}$。
即：$\frac{a}{2}\le x_n\le\frac{a}{2}$。
$\therefore x_n\ge\frac{a}{2}\ge 0$。
证毕。
$\Large\texttt{Ex4}$
$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$，且 $\{y_n\}$ 有界。
求证：$\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=0$。
证明：
因为 $\{y_n\}$ 有界，则 $\exist M\ge 0$，使得 $|y_n|\leq M$，$\forall n\in\mathbb{Z^{+}}$。
对 $\forall\epsilon\ge 0$，又 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$，$\exists N\in\mathbb{Z^{+}}$，当 $n\ge N$ 时，$|x_n|\le\epsilon$。
当 $n\ge N$ 时，$|x_ny_n-0|=|x_n||y_n|\le M\epsilon$。
$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_ny_n=0$。
证毕。

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